Sistemas de Afinación I

El sonido, materia prima de la música, presenta a la intuición humana tres cualidades que lo caracterizan y que, por tanto, nos permiten decidir si dos sonidos son iguales o no. Se trata de:

-Intensidad: característica que nos permite clasificarlos en fuertes y débiles.

-Altura: intuitivamente percibimos diferencias entre los sonidos debido a lo que llamamos sonidos agudos y graves. Utilizamos también un vocabulario espacial para describir estas diferencias: sonidos altos y bajos.

-Timbre: también percibimos diferencias entre sonidos de igual intensidad y altura, que identificamos de forma más cualitativa y que atribuimos a cambios en lo que llamamos timbre (o calidad del sonido). Curiosamente, también en este caso aplicamos expresiones de nuestra percepción visual, tales como el “color” de los sonidos, “sonidos brillantes”, “opacos”, “difuminados”, etc.; así como términos relacionados con otros sentidos: “sonido dulce”, “áspero”, “seco”, etc.

Ahora bien, la altura de los sonidos tiene sus particularidades frente a las otras características. Mientras que la intensidad de los sonidos se percibe de forma bastante imprecisa y los diferentes timbres se clasifican con criterios más bien subjetivos, la percepción de la altura de los sonidos goza de gran precisión y objetividad, es decir, fácilmente nos podemos poner de acuerdo en cuanto a las diferencias en la altura de distintos sonidos y con mayor dificultad en cuanto a sus alturas absolutas. Además, el conjunto de los sonidos en lo que a altura se refiere parece admitir un orden, es decir, a partir de una altura determinada sólo podemos subir o bajar, pero no movernos en otras direcciones, a diferencia de lo que ocurría con los timbres, donde no sabríamos por dónde empezar a la hora de organizarlos, pues las posibilidades parecen infinitas. Así, la clasificación de las diferentes alturas de los sonidos es más bien sencilla en comparación con las demás características.

Por otro lado, si bien el aprovechamiento de todo matiz de intensidad no supone ningún problema para la ejecución de música (es más, es deseable), algo diferente ocurre con el timbre y la altura de los sonidos: en este caso nos encontramos con problemas a la hora de “aceptarlo todo”. En cuanto a los timbres, algunos de ellos resultan desagradables y los descartamos y otros los seleccionamos por ser agradables al oído, y así prosigue nuestra selección, sin parecer acabarse nunca, y sujeta siempre a las tendencias de la época; sin embargo, esto no lleva a la desesperación, pues el disponer de una infinidad de timbres es también deseable, al igual que en el caso de las intensidades. Con las alturas podría pasar algo similar, pero el hecho de que se pueda establecer un orden, una clasificación precisa y al mismo tiempo simple y adecuada a nuestra percepción, plantea una posibilidad tentadora: establecer efectivamente esa clasificación y una vez ordenados todos los sonidos (este es un hecho fundamental para el estudio racional de una materia, el tener una cierta visión de conjunto, un cierto control sobre ella, a diferencia del desorden y de la inmensidad descontrolada que encontrábamos en la infinidad de timbres), una vez puestos todos y cada uno de ellos en fila, uno detrás de otro, seleccionar unos pocos para nuestras necesidades musicales y descartar el resto. Evidentemente, esta selección deberá cumplir dos requisitos: por un lado cada uno de los sonidos seleccionados deberá estar justificado, ninguno de ellos “sobrará”, y por otro lado nuestras necesidades musicales se deberán ver cubiertas por el conjunto de sonidos seleccionados.

A la pregunta “¿Qué sonidos, en cuanto a su altura se refiere, debemos seleccionar para la producción de música?” han respondido los diversos sistemas de afinación a lo largo de la historia, algunos de ellos de forma consciente y con convincentes argumentos y otros simplemente surgidos de la producción más intuitiva y natural de música.

Antes de pasar a explicar y analizar los diversos sistemas de afinación, nos queda un aspecto por resolver. Al igual que la escritura nos permite plasmar y fijar nuestras ideas, transmitirlas y no depender de nuestra memoria al intentar reproducirlas, lo que llevaría a imprecisiones y variaciones en el contenido, los sonidos (en cuanto a su altura se refiere) necesitan de una forma de reproducirlos con precisión para progresar en su estudio. En esto la naturaleza está de nuestra parte y pone a nuestra disposición diversos sistemas de producción de sonido en los que se guarda una estrecha relación entre la altura de los sonidos que producen y los parámetros que determinan dichos sistemas. Por ejemplo, existe una proporcionalidad inversa entre la longitud de una cuerda que se pone a vibrar (produciendo así sonido) y la altura del sonido que produce, es decir, cuanto más corta sea la cuerda más alto será el sonido obtenido. Lo mismo ocurre con los tubos de viento.

Los sistemas de producción de sonido tienen una ventaja añadida, que es la que se pretende explicar a continuación:

El sonido es un fenómeno ondulatorio, se transmite en forma de onda, que parte de una fuente emisora en la que se producen oscilaciones, vibraciones, como en una cuerda (piano), un tubo (flauta), una membrana (timbales), etc. Pues bien, estas oscilaciones se repiten periódicamente, lo que da lugar a definir una magnitud llamada frecuencia, que es el número de veces que se produce una vibración por unidad de tiempo; por ejemplo, si se producen 100 vibraciones por segundo se dice que la frecuencia de las oscilaciones es de 100 hercios (Hz), y así tenemos que el La4 moderno (el que se utiliza habitualmente) tiene una frecuencia de 440 Hz. La relación que guarda la frecuencia de un sonido con su altura es la siguiente: son completamente equivalentes, es decir, se dice que un sonido es más alto que otro cuando su frecuencia es mayor que la del primero, y viceversa. Como curiosidad es interesante saber que nuestro oído percibe sonidos que se encuentran aproximadamente entre los 20 y los 20.000Hz, y un sonido que no se encuentre en este rango no lo oirá una persona.

Aunque para la medición de la frecuencia de un sonido se necesitan instrumentos de medida modernos, todos los sistemas de afinación se pueden justificar analizando las frecuencias de los sonidos que los componen. La idea que se quiere transmitir con esto es que aunque la frecuencia de los sonidos era desconocida para aquellos que diseñaron los sistemas de afinación, los resultados que obtuvieron siguen siendo coherentes desde un punto de vista basado en el análisis de las frecuencias de sus sonidos. La pregunta que cabe hacerse es: “¿Por qué se dio esta coincidencia?”. La respuesta es doble. Por un lado se ve que un modelo que pretenda justificar los sistemas de afinación basándose en las frecuencias de sus sonidos es correcto, pues es coherente con los resultados que intuitivamente fueron surgiendo a lo largo de la historia. Por otro lado, y esta es la ventaja añadida de la que se hablaba antes, los sistemas de producción de sonido que nos proporciona la naturaleza están tan ligados en los parámetros que los caracterizan a la frecuencia de los sonidos que producen que manipular estos parámetros es absolutamente equivalente a manipular sus frecuencias, y esta relación no se da sólo de forma cualitativa, sino de manera matemáticamente exacta. Me explico con un ejemplo: como ya se dijo antes, la longitud de una cuerda que se hace vibrar para producir un sonido es inversamente proporcional a la frecuencia del sonido que produce, es decir, cuanto más corta es la cuerda, mayor será la frecuencia de vibración y, por tanto, la frecuencia del sonido; sin embargo, esta proporcionalidad inversa no es simplemente cualitativa, sino que en el caso dividir la cuerda en dos partes iguales obtendremos una frecuencia de exactamente el doble del valor inicial; al quedarnos con un tercio de la cuerda obtendremos una frecuencia triple y al quedarnos con una parte de la cuerda 16/81 veces su longitud inicial tendremos una frecuencia 81/16 veces la inicial. Por tanto, vemos que si una explicación moderna de por qué funciona un sistema de afinación determinado se basa en unas relaciones determinadas entre las frecuencias de los sonidos que lo forman, perfectamente se podrán usar argumentos equivalentes referentes a la relación entre la longitud de las cuerdas que producen dichos sonidos, o de los tubos, del peso de los martillos se hacen vibrar, etc.

Así, nuestras explicaciones se basarán en el concepto de frecuencia, y esto no nos hace desviarnos de los caminos que históricamente llevaron a las antiguas culturas a idear sus sistemas, pues utilizaban conceptos absolutamente equivalente.
Dicho todo esto, ya podemos comenzar a responder a la pregunta: “¿Qué sonidos, en cuanto a su altura se refiere, debemos seleccionar para la producción de música?”.



Generalidades. Explicación y análisis de los sistemas de afinación.

Los primeros sistemas de afinación surgidos de un tratamiento racional de esta materia, y no simplemente de la intuición, se basaron en el siguiente criterio:

Dos sonidos son consonantes si sus respectivas frecuencias guardan una relación que se puede expresar como cociente de dos números naturales (1, 2, 3, …) sencillos.

Y cómo no, dos sonidos consonantes entre sí son serios aspirantes a convivir en un mismo sistema de afinación. Pues bien, comencemos a obtener sonidos consonantes a partir de uno fundamental (según este criterio) siguiendo un cierto orden:

Partimos de un sonido con una determinada frecuencia (f). Lo más simple que podemos hacerle a su frecuencia recurriendo a los números naturales es duplicarla, es decir, multiplicarla por 2 (2f). El nuevo sonido guarda una relación muy sencilla con el primero. Esta primera relación es tan fuerte que conviene decir desde ya que estos dos sonidos forman entre sí lo que actualmente llamamos un intervalo de octava. Dos sonidos que forman tal intervalo están tan íntimamente relacionados que los percibimos como un mismo sonido, con la salvedad de que se encuentran en diferentes tesituras. Pues bien, absolutamente todos los sistemas de afinación han estudiado los sonidos que debían “rellenar” esta octava, y una vez escogidos éstos, la siguiente octava sería totalmente equivalente. Por tanto, nuestro estudio queda acotado a los límites de la octava, esto es, a los sonidos con frecuencias comprendidas entre f y 2f.

Una vez que hemos duplicado f, lo siguiente que podemos hacer es triplicarla, resultando así un nuevo sonido (3f), que presenta un problema: está por encima del límite que nos hemos impuesto (2f). Ahora bien, si hacemos descender este nuevo sonido una octava, es decir, dividimos su frecuencia por 2, tenemos otro que ahora sí cae dentro de nuestros límites: (3/2)f. Su relación con el sonido fundamental es el cociente entre dos números naturales sencillos, el 3 y el 2.

Ahora, si multiplicamos f por 4, lo que hemos hecho ha sido subir dos octavas desde la nota fundamental, es decir, hemos multiplicado dos veces por 2 su frecuencia (22). Por lo tanto, no hemos obtenido ningún sonido nuevo. Esto ocurrirá siempre que multipliquemos f por una potencia de 2, o lo que es lo mismo, siempre que la multipliquemos sucesivas veces por 2: 2•2•2 … •2•f = 2 (elevado a n) • f.

Proseguimos con el 5 (5f), que se nos vuelve a pasar del 2f. Para colocarnos entre el 1 y el 2 debemos descender dos octavas, o dividir entre 4: (5/4)f.

El 6 no nos aporta nada nuevo, pues nos hace dividirlo entre 4 para colocarse entre el 1 y el 2, obteniendo así (6/4)f = (3/2)f, que ya lo teníamos.

Si seguimos actuando de manera análoga, obtenemos la siguiente serie de sonidos consonantes:

f, 2f, 3/2f, 5/4f, 7/4f, 9/8f, …

en la que vemos que los cocientes de números enteros son cada vez más complicados. Los primeros sonidos formarán “mejores consonancias” con el fundamental que los siguientes. Esta serie, a la que nos referiremos constantemente, la llamaremos serie de consonancias naturales. Los sistemas de afinación tendrán como objetivo común el que entre los intervalos que forman sus sonidos se encuentren, en la medida de lo posible, los que encontramos en la serie de consonancias naturales.

Afinación pitagórica

En el sistema pitagórico tiene una especial importancia el tercer sonido de nuestra serie, el del coeficiente 3/2. La forma en que Pitágoras “rellena” la octava sólo tiene en cuenta este intervalo, además de la propia octava. Lo hace de la siguiente forma:
• Toma el sonido 3/2f a partir del fundamental.
• Hace lo mismo a partir del nuevo sonido, por lo que hay que multiplicar dos veces por 3/2. El resultado es 9/4, que es mayor que 2, por lo que lo bajamos una octava (o lo dividimos entre 2, que es lo mismo), dando 9/8.
• Vuelve a hacer lo mismo, multiplicando 9/8•3/2=27/16, que es menor que 2, por lo que se acepta.
• Y así se continúa, siguiendo estas reglas simples: se multiplica cada vez por 3/2 el anterior y cuando el resultado es mayor que 2 se baja una octava dividiendo entre 2.



Los primeros 14 sonidos así obtenidos presentan en la siguiente tabla:









Y se representan en el siguiente gráfico:












Así podrían seguir sacándose sonidos indefinidamente. Sin embargo, algo especial pasa en el que está en la posición 13ª: este sonido es asombrosamente parecido al primero. Pues este es el punto clave del sistema pitagórico, y la razón por la que nuestros sistemas siempre han estado fuertemente unidos al número doce. Pitágoras pensó que este sonido era tan parecido al primero, que se podían considerar iguales, quedándose con los 12 primeros sonidos de esta sucesión. Al ordenarlos por orden ascendente, nos vamos acercando cada vez más al 2; el sonido número 12 será (por este orden) el de coeficiente 1,8984375 (que antes figuraba como el 6º), tras el cual se tomará directamente el de coeficiente 2, cerrando así la octava.














Lo que hemos hecho es en esencia cerrar un círculo de lo que ahora llamamos quintas, siempre teniendo en cuenta las diferencias existentes entre este sistema y el nuestro. Cuando nosotros ascendemos por quintas un total de doce pasos, al llegar a la nota número trece nos damos cuenta de que es del mismo nombre que la primera.

Para analizar las ventajas y desventajas de este sistema, veamos hasta qué punto sus intervalos se corresponden con los de la serie de consonancias naturales. En la siguiente tabla se comparan los coeficientes pitagóricos de los tonos, terceras mayores y quintas justas con los de las consonancias naturales más apropiadas:






-Conclusiones:

Como vemos, la quinta y el tono son exactamente iguales a los naturales; sin embargo, la tercera está aumentada con respecto a la natural, lo que presenta un gran obstáculo para la polifonía. Además, como desventaja tenemos la existencia de la coma pitagórica, que es la diferencia entre la nota que nos salía matemáticamente en la posición duodécima y la que finalmente hemos impuesto, con su correspondiente quinta del lobo.


Escrito por Benjamín Villalonga.